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多项式的差分与招差术
系数非零项的最高次数称为多项式的次数。如果所有系数等于零,所得多项式为零多项式,其次数通常规定为负无穷。
容易知道,多项式也可以分解为组合数多项式的线性组合。例如:
(一)简单例子
我们通过取变元的特殊值来逐个求出这些常数。
取 得到 即
(二)差分的定义
定义 (差分函数)函数 的一阶差分函数 定义为
进一步,函数 的一阶差分
称为函数 的二阶差分函数。类似地,可以定义 的 阶差分函数;特别地,零阶差分就是函数本身,即
(三)求差分运算的性质
求差分运算的重要性质是保持线性组合 (验证过程留给读者),即对于函数 及常数
次多项式的 阶差分等于零多项式。
作为特殊的例子,组合数多项式的差分非常容易计算。
(四)招差术原理
利用命题 1 计算多项式函数的各阶差分,得到如下招差术原理。
(五)使用招差术的例子
我们应用招差术算法求出正整数四次幂的前 项和的公式。
由命题 1 得到
通过分解因式,也可以改写为
(六)结语
本文介绍的多项式分解为组合数多项式线性组合的差分算法,实际上是中国古代数学的杰出成就——多项式插值法 (招差术) 的应用。
详细的介绍,推荐李俨先生的中算史研究著作
李俨《中算家的内插法研究》(科学出版社 1957)